韦达定理
韦达定理
#设关于 $x$ 的一元二次方程
\[ax^2+bx+c=0\quad (a\neq0)\]
的两根为 $x_1$, $x_2$, 则由因式分解知识可知, 该方程必可变形为
\[(x-x_1)(x-x_2)=0.\]
将前者改写为
\[x^2+ \frac{b}a x+ \frac{c}{a}=0,\]
并将后者展开,
\[x^2- (x_1+x_2)x+ x_1x_2=0,\]
对比可知
\[\left\{\!\!\begin{array}{l}
x_1+x_2= -\dfrac{b}a,\\
x_1x_2= \dfrac{c}a,
\end{array}\right.\]
上述结论称为韦达 (Veite, 法国数学家) 定理, 也称为根与系数的关系定理.
利用上面的方法可以得到一元三次方程的韦达定理 (根与系数的关系). 例如, 关于 $x$ 的三次方程 \[
ax^3+bx^2+cx+d=0\quad (a\neq 0)\]
的三根为 $x_1$, $x_2$, $x_3$, 等价于该方程必可变形为 \[
(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0,\]
再展开后与原方程对比系数, 可知 \[
\left\{\!\!\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3= -\dfrac{b}a,\\[6pt]
x_1x_2+ x_2x_3+ x_3x_1= \dfrac{c}a,\\[6pt]
x_1x_2x_3= -\dfrac{d}a.
\end{array}\right.\]
更一般的一元 $n$ 次方程的韦达定理也可以同理得出.
也可以直接用 求根公式 来验证韦达定理: 由 \[
x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
直接计算可得结论.
需要注意的是, 韦达定理中并未假设方程的根为实根, 也即无论方程是否有实根, 韦达定理都成立. 例如, 二次方程 $x^2+x+1=0$ 的判别式 $\Delta=-3< 0$, 所以无实根. 但通过定义复数 (包含了实数, 高中会学到), 该方程仍有两个复根. 若设这两个复根为 $x_1,x_2$, 则也有
\[\left\{\!\!\begin{array}{l}
x_1+x_2= -1,\\
x_1x_2= 1,
\end{array}\right.\]
正因为如此, 由于大部分高中题目只考虑实根, 所以用韦达定理时, 必须额外写出 $\Delta\geqslant 0$.
韦达定理的简单应用
#设方程 $x^2-3x-2=0$ 的两个实根为 $x_1$, $x_2$, 求下列各式的值: \[x_1x_2,\quad x_1^2+x_2^2,\quad\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}.\]
此方程的判别式
\[\Delta= (-3)^2-4(-2)= 17>0,\]
所以确实有两个实根. 由韦达定理, \[\left\{\!\!\begin{array}{l}
x_1+x_2= 3,\\
x_1x_2= -2,
\end{array}\right.\] 则 \[\begin{gathered}
x_1^2+x_2^2= (x_1+x_2)^2- 2x_1x_2= 13,\\
\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}= \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}= -\frac32.
\end{gathered}\]
(1) 上例中要求值的式子均为关于 $x_1,x_2$ 的对称式, 即将 $x_1,x_2$ 互换位置之后, 新式与原式相同. 类似的还有, \[
x_1^3+x_2^3,\quad \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_2},\]
等等. 可以证明, 关于 $x_1,x_2$ 的对称式一定能用 $x_1+x_2$ 和 $x_1x_2$ 表示. 所以 $x_1+x_2$ 和 $x_1x_2$ 也称为关于 $x_1,x_2$ 的基本对称式.
(2) 解韦达定理相关问题时, 常用到完全平方公式及其变形, 如 \[\begin{aligned}
a^2+b^2&= (a+b)^2-2ab\\
&= (a-b)^2+2ab,\\
(a+b)^2&= (a-b)^2+4ab,\\
ab&= \frac14[(a+b)^2- (a-b)^2].
\end{aligned}\]
上述公式均应熟记.
若关于 $x$ 的方程 \[
x^2- (2m^2+m-6)x+ m-2=0\]
的两个实根互为相反数, 求 $m$ 的值.
设两实根为 $x_1$, $x_2$, 则 \[\left\{\!\!\begin{array}{l}
x_1+x_2= 2m^2+m-6= 0,\\
\Delta= [-(2m^2+m-6)]^2- 4(m-2)\\
\phantom{\Delta}= -4(m-2)\geqslant 0.
\end{array}\right.\] 由前一个方程解得 $m= \dfrac32$ 或 $-2$, 由后一个不等式解得 $m\leqslant 2$, 所以前述两个 $m$ 值均合题意.
(1) 若关于 $x$ 的方程 $x^2+4x+m= 0$ 的两个实根 $x_1,x_2$ 满足 $|x_1- x_2|= 2$, 求 $m$ 的值;
(2) 若关于 $x$ 的方程 \[
x^2+ (k^2-1)x+ k= 0\]
的两个实根互为相反数, 求 $k$ 的值.
参考答案(1) (简解) 利用 \[
|x_1- x_2|^2= (x_1+x_2)^2- 4x_1 x_2\]
和韦达定理可知, $4= 4^2- 4m$, 则 $m=3$, 此时 $\Delta= 4>0$, 符合题意;
(2) (简解) 由两实根互为相反数和韦达定理知, $k^2-1= 0$, 则 $k= \pm1$, 再检验判别式知, $k=-1$.
利用韦达定理构造新的方程
#对关于 $x$ 的二次方程 $x^2+Bx+C=0$ (二次项系数为 $1$) 的两根 $x_1, x_2$, 韦达定理的结论比较简洁: \[
x_1+x_2= -B,\quad x_1x_2= C.\]
因为以 $x_1,x_2$ 为根的二次方程必可化为 \[
(x-x_1)(x-x_2)=0,\]
即 \[
x^2- (x_1+x_2)x+ x_1x_2=0,\]
所以用韦达定理可以由两根之和与积写出对应的二次方程. 例如, 若二次方程的两根 $x_1, x_2$ 满足 \[
x_1+x_2= 3,\quad x_1x_2= 1,\]
则原方程必可化为 $x^2- 3x+ 1=0$.
设方程 $x^2-3x-2=0$ 的两个实根为 $x_1$, $x_2$, 求以下列各组数为两根的一元二次方程:
(1) $x_1^2$, $x_2^2$; (2) $\dfrac1{x_1}$, $\dfrac1{x_2}$.
由前面的说明, 只需要分别计算两根之和与积. 由韦达定理, \[\left\{\!\!\begin{array}{l}
x_1+x_2= 3,\\
x_1x_2= -2,
\end{array}\right.\]
(1) 借用 例 1 的结论, \[\left\{\!\!\begin{array}{l}
x_1^2+x_2^2= 13,\\
x_1^2x_2^2= 4,
\end{array}\right.\] 故所求方程为 $x^2- 13x+4=0$.
(2) 同理, \[\left\{\!\!\begin{array}{l}
\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}= -\dfrac32,\\
\dfrac1{x_1}\cdot\dfrac1{x_2}= -\dfrac12,
\end{array}\right.\] 故所求方程为 \[x^2+\dfrac32x-\dfrac12=0,\quad\text{即}\quad 2x^2+3x-1=0.\]
上例中 (2) 还有更简洁的解法. 考虑 $\dfrac1{x_1}$, $\dfrac1{x_2}$ 的形式可知, 若 $x$ 为所求一元二次方程的根, 则 $\dfrac1x$ 为原方程的根. 所以 $x$ 满足 \[\frac1{x^2}-\frac3x-2=0,\quad\text{即}\quad 2x^2+3x-1=0.\]
求一个一元二次方程, 使它的两根分别是方程 $x^2-7x-1= 0$ 各根的相反数.
参考答案$x^2+7x-1=0$.